Galerkin Finite Element Methods with Symmetric Pressure Stabilization for the Transient Stokes Equations: Stability and Convergence Analysis

We consider the stability and convergence analysis of pressure stabilized finite element approximations of the transient Stokes’ equation. The analysis is valid for a class of symmetric pressure stabilization operators, but also for standard, inf-sup stable, velocity/pressure spaces without stabilization. Provided the initial data is chosen as a specific (method dependent) Ritz-projection, we get unconditional stability and optimal convergence for both pressure and velocity approximations, in natural norms. For arbitrary interpolations of the initial data, a condition between the space and time discretization parameters has to be verified in order to guarantee pressure stability. Key-words: Transient Stokes’ equations, finite element methods, symmetric pressure stabilization, time discretization, Ritz-projection Preprint submitted to the SIAM Journal on Numerical Analysis. ∗ University of Sussex, UK; e-mail: [email protected] † INRIA, REO team; e-mail: [email protected] Méthodes de Galerkin avec stabilisation symétrique de la pression pour l’équation de Stokes transitoire: analyse de stabilité et de convergence Résumé : On considère l’analyse de stabilité et convergence de méthodes d’éléments finis stabilisées pour l’équation de Stokes transitoire. L’analyse est valable pour des stabilisations symétriques et faiblements consistantes de la pression. Si l’approximation de la vitesse initiale est donnée par un pro jection de Ritz spécifique, dépendante de la stabilisation, on montre stabilité inconditionnelle et convergence optimale pour la vitesse et la pression, dans des normes naturelles. Par contre, pour des approximations arbitraires de la vitesse initiale, la stabilité de la pression est soumise à une condition entre les param‘etres de discrétisation en espace et en temps. Mots-clés : Équation de Stokes transitoire, méthode d’éléments finis, stabilisation symétrique de la pression, discrétisation en temps, projection de Ritz Stabilized FEM for the transient Stokes’ equations 3